Дискретная случайная величина х задана рядом распределения онлайн

Дискретная случайная величина и функция её распределения

Дискретная случайная величина х задана рядом распределения онлайн

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении.

Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n.

К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными.

Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно – установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, …, n.

Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей – закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: .

Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке.

Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

Значение
Вероятность

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней – вероятности этих значений (p).

События являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: – 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб.

(фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. – на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму – 2, а третьему – один.

Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Сумма выигрыша-1009002900
Вероятность0,940,040,02

Функция распределения дискретной случайной величины: построение

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример 2. Дискретная случайная величина X – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Значение123456
Вероятность1/61/61/61/61/61/6

Функция распределения F(x) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).

Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров – дискретная случайная величина X. Составить соответствующий ей закон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей. Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:

Значение0123
Вероятность1/303/101/21/6

Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять различных значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли . При

n = 4,

p = 1,1,

q = 1 – p = 0,9,

m = 0, 1, 2, 3, 4

получаем

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Число попаданий01234
Вероятность0,65610,29160,04860,00360,0001

Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение.

Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона.

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление

Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F(х), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х.

Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Длительность брака (лет)ЧислоВероятностьF(x)
0100,0020,002
1800,0130,015
21770,0290,044
32090,0350,079
43070,0510,130
53350,0560,186
63580,0600,246
74130,0690,314
84320,0720,386
94020,0670,453
10 и более32870,5471,000
Всего60101

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056.

Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186.

Мы получили её, прибавив к значению F(x) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией

Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины, которым посвящён отдельный урок.

Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

(1)

Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:

Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:

, (2)

где .

Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x2, равна 1 − 0,6 = 4. Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные – значения нашей дискретной случайной величины:

или

.

Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные – также значения дискретной случайной величины:

или

.

Систему из двух полученных уравнений

решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем

.

Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение

,

которое имеет два корня: 7/5 и −1. Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x2 

Источник: https://function-x.ru/probabilities_discrete_random_value.html

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина х задана рядом распределения онлайн

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения  СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ  — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 – первой вынули  стандартную деталь;

 — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

 — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

123

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

 — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

 — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

 — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

 — выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности :

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

0123

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

 – ни один из стрелков не попал в цель;

 – один из стрелков попал в цель;

 – двое стрелков поразили цель;

 – три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

 — (двое из трех поразили цель);

 — (три стрелка поразили цель).

Контроль:

0123
0,040,260,460,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

Свойства функции распределения:

  1.   – неубывающая функция, т.е. ,  если
  2.   непрерывна слева в любой точке , т.е. 

Функция распределения ДСВ имеет вид

где суммирование ведется по всем индексам , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

-2-1023
0,10,20,30,30,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если , то

если , то , так как может принять значения -2 или -1

если , то

если , то

если , то

Таким образом, функция распределения имеет вид:

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями  называется ДСВ, принимающая все значения вида  (соответственно, или ) с вероятностями

Обозначение:  (соответственно,  или ).

Произведением ДСВ Х на число  называется ДСВ  , принимающая значения  с вероятностями

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения  (соответственно, ) с вероятностями  Обозначение:  (соответственно, ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события  и  при любых 

2.1. Задано распределение ДСВ Х

-2-1123
0,20,250,30,150,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а)

б) 

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

Вероятности этих значений равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например,  и т. д.). Таким образом

-4-2246
0,20,250,30,150,1

б) Значения СВ Z таковы: 

При этом 

 и т. д. Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

149
0,550,350,1

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

Построить:

а) ряд распределения СВ

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения  СВ Y,  подставляя соответствующие значения в формулу :

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

При этом

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

012
0,20,40,4
234
0,30,30,4

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;

в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=21+2=32+2=4
0+3=31+3=42+3=5
0+4=41+4=52+4=6

Т. е. случайная величина принимает значения:

Найдем вероятности этих значений:

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

Запишем ряд распределения ДСВ

23456
0,060,180,320,280,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ

Найдем всевозможные значения .

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0-2=-21-2=-12-2=0
0-3=-31-3=-22-3=-1
0-4=-41-4=-32-4=-2

Таким образом случайная величина принимает значения:

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

-4-3-2-10
0,080,220,340,240,12

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V : .  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0·2=01·2=22·2=4
0·3=01·3=32·3=6
0·4=01·4=42·4=8

Таким образом случайная величина принимает значения: 

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

023468
0,20,120,120,280,120,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем  . Пусть .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

01234
0,120,240,340,220,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

  1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
  2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Источник: https://ischanow.com/teoriya-veroyatnostey/diskretnye-sluchaynye-velichiny.html

Ваш закон
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: