Дробные уравнения 5 класс примеры

Содержание
  1. Математика 5 класс Тарасенкова Н. А. Распределительный закон
  2. Задание 553
  3. Задание 554
  4. Задание 555
  5. Решение:
  6. Задание 556
  7. Задание 557
  8. Задание 558
  9. Задание 559
  10. Задание 560
  11. Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами
  12. Определение рационального уравнения
  13. Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные
  14. Целые рациональные уравнения
  15. Пример 1
  16. Дробно рациональные уравнения
  17. Области Допустимых Значений
  18. Алгоритм правильного решения рациональных уравнений
  19. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
  20. Пример 5
  21. Пример 6
  22. Пример 8
  23. Пример 9
  24. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы
  25. ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
  26.  
  27. Основные правила математики с примерами. 5 класс – Сайт учителя математики Косыхиной Н.В
  28. Натуральные числа
  29. Сравнение натуральных чисел
  30. Свойства сложения
  31. Формула пути
  32. Корень уравнения
  33. Правила решения уравнений
  34. Отрезок
  35. Свойство длины отрезка
  36. Равные отрезки
  37. Свойство прямой
  38. Измерить отрезок
  39. Ломаная
  40. Луч
  41. Угол
  42. Равные углы
  43. Свойство величины угла
  44. Биссектриса угла
  45. Развернутый угол
  46. Прямой угол
  47. Острый угол
  48. Тупой угол
  49. Равные многоугольники
  50. Равные фигуры
  51. Остроугольный треугольник
  52. Прямоугольный треугольник
  53. Тупоугольный треугольник
  54. Равнобедренный треугольник
  55. Равносторонний треугольник
  56. Периметр равностороннего треугольника
  57. Разносторонний треугольник
  58. Прямоугольник
  59. Свойство прямоугольника
  60. Периметр прямоугольника
  61. Квадрат
  62. Периметр квадрата
  63. Умножение
  64. Свойства умножения
  65. Деление с остатком
  66. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  67. Сложение и вычитание смешанных чисел
  68. Преобразование неправильной дроби в смешанное число
  69. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
  70. Свойства десятичной дроби
  71. Тема дроби 5 класс, суть дроби, сложение, вычитание, деление, умножение, примеры с объяснениями. Как понять дроби
  72. Суть дроби
  73. Действия с дробями 5 класс
  74. Сложение дробей, объяснение
  75. Вычитание дробей, объяснение
  76. Деление десятичных дробей 5 класс
  77. Умножение десятичных дробей 5 класс
  78. Смешанные дроби 5 класс
  79. Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением
  80. Примеры с обыкновенными дробями с разными знаменателями 5 класс с объяснением
  81. Примеры с дробями 5 класс для тренировки
  82. Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

Математика 5 класс Тарасенкова Н. А. Распределительный закон

Дробные уравнения 5 класс примеры

Категория: –>> Математика 5 класс Тарасенкова.
Задание:  –>>      553 – 569  570 – 586 

наверх

Задание 553

Какое из чисел 4. 5, 8 и 10 является корнем уравнения:

Задание 554

Решите уравнение устно:

1) 15 + x: = 55,  x = 40;3) 60 – y = 45,  y = 15;5) 88 : x = 8,  x = 11;
2) х – 22 = 42,  x = 64;4) у * 12 = 12,  y = 1;6) у : 10 = 40,  y = 400.

Задание 555

Можно ли решить уравнение:

1) 8x = 0;2) 0 : y = 25;3) 5х = 54) 12 : y = 0?

Решение:

1) x = 0; 2) Не имеет решений; 3) x = 1; 4) Не имеет решений;

Задание 556

Решите уравнение:

1)28 + (45 + х) = 100;
  • 45 + x = 100 – 28;
  • 45 + x = 72;
  • x = 72 – 45;
  • x = 27;

2) (у – 25) + 18 = 40;

  • y – 25 = 40 – 18;
  • y – 25 = 22;
  • y = 22 + 25;
  • y = 47;

3) (70 – х) – 35 = 12;

  • 70 – x = 35 + 12;
  • 70 – x = 47;
  • x = 70 – 47;
  • x = 23;

4) 60 -(y + 34) = 5;

  • y + 34 = 60 – 5;
  • y + 34 = 55;
  • y = 55 – 34;
  • y = 21;

5) 52 – (19 + х) = 17;

  • 19 + x = 52 – 17;
  • 19 + x = 35;
  • x = 35 – 19;
  • x = 16;

6) 9y – 18 = 72;

  • 9y = 72 + 18;
  • 9y = 90;
  • y = 90 : 9;
  • y = 10;

7) 20 + 5х = 100;

  • 5x = 100 – 20;
  • 5x = 80;
  • x = 80 : 5;
  • x = 16;

8) 90 – y * 12 = 78;

  • y * 12 = 90 – 78;
  • y * 12 = 12;
  • y = 12 : 12;
  • y = 1;

9) 10х – 44 = 56;

  • 10x = 56 + 44;
  • 10x = 100;
  • x = 100 : 10;
  • x = 10;

10) 84 – 7у = 28;

  • 7y = 84 – 28;
  • 7y = 56;
  • y = 56 : 7;
  • y = 8;
11) 121 : (х – 45) = 11;
  • x – 45 = 121 : 11;
  • x – 45 = 11;
  • x = 45 + 11;
  • x = 56;

12) 77 : (у + 10) = 7;

  • y + 10 = 77 : 7;
  • y + 10 = 11;
  • y = 11 – 10;
  • y = 1;

13) (х – 12) : 10 = 4;

  • x – 12 = 10 * 4;
  • x – 12 = 40;
  • x = 40 + 12;
  • x = 52;

14) 55 – y * 10 = 15;

  • y * 10 = 55 – 15;
  • y * 10 = 40;
  • y = 40 : 10;
  • y = 4;

15) х : 12 + 48 = 91;

  • x : 12 = 91 – 48;
  • x : 12 = 43;
  • x = 43 * 12;
  • x = 516;

16) 5y + 4y = 99;

  • 9y = 99;
  • y = 99 : 9;
  • y = 11;

17) 54х – 27х = 81;

  • 27x = 81;
  • x = 81 : 27;
  • x = 3;

18) 36y – 16y + 5y = 0;

  • 25y = 0;
  • y = 0 : 25;
  • y = 0;

19) 14х + х – 9х + 2 = 56;

  • 6x + 2 = 56;
  • 6x = 56 – 2;
  • 6x = 54;
  • x = 54 : 6;
  • x = 9;

20) 20y – 14у + 7у – 13 = 13.

  • 13y – 13 = 13;
  • 13y = 13 + 13;
  • 13y = 26;
  • y = 26 : 13;
  • y = 2;

Задание 557

Решите уравнение:

1) 65 + (х + 23) = 105;
  • x + 23 = 105 – 65;
  • x + 23 = 40;
  • x = 40 – 23;
  • x = 17;

2) (у – 34) – 10 = 32;

  • y – 34 = 32 + 10;
  • y – 34 = 42;
  • y = 42 + 34;
  • y = 76;

3) (48 – х) + 35 = 82;

  • 48 – x = 82 – 35;
  • 48 – x = 47;
  • x = 48 – 47;
  • x = 1;

4) 77 – (28 + y) = 27;

  • 28 + y = 77 – 27;
  • 28 – y = 50;
  • y = 50 – 28;
  • y = 22;

5) 90 + y * 8 = 154;

6) 9х + 50 = 86;

  • 9x = 86 – 50;
  • 9x = 36;
  • x = 36 : 9;
  • x = 4;

7) 120 : (х – 19) = 6;

  • x – 19 = 120 : 6;
  • x – 19 = 20;
  • x = 19 + 20;
  • x = 39;

8)(y + 50) : 14 = 4;

  • y + 50 = 14 * 4;
  • y + 50 = 56;
  • y = 56 – 50;
  • y = 6;

9) 48 + у : 6 = 95;

  • y : 6 = 95 – 48;
  • y : 6 = 47;
  • y = 6 * 47;
  • y = 282;

10) 8х + 7х – х = 42.

  • 14x = 42;
  • x = 42 : 14;
  • x = 3;

Задание 558

Составьте уравнение, корнем которого является число:

а) 2y = 16;б) x + 7 = 21.

Задание 559

Составьте уравнение, корнем которого является число.

а) 25 : x = 5;б) 5x = 45.

Задание 560

Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число.

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Дробные уравнения 5 класс примеры

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

Как думаешь, какое это уравнение?

Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

А это?

Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

Что скажешь насчет этого?

А это – рациональное.

А здесь?

Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

А вот это с отрицательным показателем степени?

Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.  

И последней с дробной степенью?

А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать? 

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно  !

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

  ,

А теперь делим обе части на  :

Тут все просто?

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

Тогда какое же оно?

Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

Сначала подставим  , получается   

Нет претензий?

С ним все нормально.

А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

Области Допустимых Значений

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

Найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  .

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда:

  .

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 8

2.  

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .

Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

Тогда:

 Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

 При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

Если  , получим деление на  .

Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

Пример 9

3.  

 Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

 Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

 Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

Ответ:  .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений: 

 .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-uravneniya-1

Основные правила математики с примерами. 5 класс – Сайт учителя математики Косыхиной Н.В

Дробные уравнения 5 класс примеры

› 5 Класс › Основные правила математики с примерами. 5 класс

  • Натуральные числа
  • Сравнение натуральных чисел
  • Свойства сложения
  • Формула пути
  • Корень уравнения
  • Правила решения уравнений
  • Отрезок, прямая, луч
  • Угол, биссектриса угла
  • Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
  • Многоугольники. Равные фигуры
  • Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
  • Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
  • Прямоугольник. Квадрат. Периметр
  • Умножение. Свойства умножения
  • Деление. Деление с остатком
  • Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
  • Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
  • Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение и вычитание смешанных чисел
  • Преобразование неправильной дроби в смешанное число
  • Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
  • Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
  • Десятичные дроби: сложение, вычитание
  • Десятичные дроби: умножение, деление
  • Среднее арифметическое
  • Процент

Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.

Сравнение натуральных чисел

Число меньше любого натурального числа.

03559

Свойства сложения

Переместительный закон: 

15+10=10+15

Сочетательный закон:

(23+15)+25=23+(15+25)

Формула пути

S=V·t,где S — пройденный путь, V — скорость движения, t — время, за которое пройден путь S

= 50км,  = 2ч,  = 25км/ч

,   50км = 25км/ч· 2ч

,   25км/ч = 50км : 2ч

,   2ч = 50км : 25км/ч

Корень уравнения

Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.

2·x+10=16

x = 3 – корень, так как 2·3+10=16

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

Правила решения уравнений

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

20слагаемое+xслагаемое=100суммаx = 100 – 20x = 80

  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.

xуменьшаемое–10вычитаемое=40разностьx = 40 + 10x = 50

  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

50уменьшаемое–xвычитаемое=40разностьx = 50 – 40x = 10

  • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.

xмножитель·7множитель=56произведениеx = 56 : 7x = 8

  • Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

xделимое:8делитель=72частноеx = 72 : 8x = 9

  • Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

42делимое:xделитель=7частноеx = 42 : 7x = 6

Отрезок

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)

Свойство длины отрезка

Если на отрезке отметить точку , то длина отрезка равна сумме длин отрезков и .

Равные отрезки

Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство прямой

Через две точки проходит только одна прямая.

Измерить отрезок

Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается

Ломаная

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом

Луч

Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, . Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

Угол

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Равные углы

Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство величины угла

Если между сторонами угла ∠ провести луч , то градусная мера  ∠ равна сумме градусных мер углов ∠ и ∠, то есть ∠ = ∠+ ∠.

Биссектриса угла

Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Развернутый угол

Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.

Прямой угол

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

Острый угол

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

Тупой угол

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

Равные многоугольники

Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.

Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника

Если сторона равностороннего треугольника равна , то его периметр вычисляют по формуле

Разносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.

Прямоугольник

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

Свойство прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Периметр прямоугольника

Если соседние стороны прямоугольника равны и , то его периметр вычисляют по формуле

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Периметр квадрата

Если сторона квадрата равна , то его периметр вычисляют по формуле .

Умножение

  • Произведением числа на натуральное число , которое не равно 1, называют сумму, состоящую из  слагаемых, каждый из которых равен . В равенства    числа  и называют множителями,  а число и запись  — произведением.

  • Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю.
  • Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
  • Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения

  • Переместительный закон умножения:
  • Сочетательный закон умножения: 
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения:  

2·(3+10) = 2·3 + 2·103·11 + 3·4 = 3·(11 + 4)

  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

2·(15–7) = 2·15 – 2·73·10 – 3·4 = 3·(10 – 4)

Для натуральных чисел равенство   является правильным, если является правильным равенство

15 : 5 = 3 -правильное равенство, так как  равенство 5 · 3 = 15 верное

В равенстве    число называют делимым, число — делителем, число и   запись  – частным от деления, отношением, долей.

На ноль делить нельзя.

Для любого натурального числа  правильными являются равенства:

,

Деление с остатком

, где  — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, .

154делимое=50делитель · 3неполное частное + 4остаток,    4

  • Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.
  • Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.
  • Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

  • Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
  • Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

Сложение и вычитание смешанных чисел

  • Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
  • Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно

  • числитель разделить на знаменатель;
  • полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

227= смешанное число? 7322–211  227=317      

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно

  • целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
  • к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
  • эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
  • в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.

523= неправильная дробь?523=5*3+23=15+23=173

Свойства десятичной дроби

Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.

Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

2,23  = 2,230 = 2,230000005,50000=5,50000=5,5

Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо

  • с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
  • после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Сравнить 5,03 и 5,0375.5,03⏟2=5,0300⏟4    и     5,0375⏟4  ; 5,0300 

Источник: https://blackseaweb.ru/5-klass/pravila-po-matematike-5-klass/

Тема дроби 5 класс, суть дроби, сложение, вычитание, деление, умножение, примеры с объяснениями. Как понять дроби

Дробные уравнения 5 класс примеры

Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.

Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля. Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь. Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Действия с дробями 5 класс

В пятом классе учатся выполнять все арифметические действия с дробями.

Все действия с дробями выполняются по правилам, и надеяться на то, что не выучив правило все получится само сабой не стоит. Поэтому не стоит пренебрегать устной частью домашнего задания по математике.

Мы уже поняли, что запись десятичной и обыкновенной дроби различны, следовательно и арифметические действия будут выполняться по-разному. Действия с обыкновенными дробями зависят от тех чисел, которые стоят в знаменателе, а в десятичной-после запятой справа.

Для дробей, у которых знаменатели одинаковые, алгоритм сложения и вычитания очень прост. Действия выполняем только с числителями.

Пример:

Для дробей с разными знаменателями нужно найти Наименьший Общий Знаменатель ( НОЗ). Это то число, которое будет делиться без остатка на все знаменатели, и будет наименьшим из таких чисел, если их несколько.

Пример:

Для сложения либо вычитания десятичных дробей, нужно записать их в столбик, запятая под запятой, и уравнить количество десятичных знаков если это требуется.

Пример:

Чтобы перемножить обыкновенные дроби просто найди произведение числителей и знаменателей. Очень простое правило.

Пример:

Деление  выполняется по следующему алгоритму:

  1. Делимое записать без изменения
  2. Деление превратить в  умножение
  3. Делитель перевернуть (записать обратную дробь делителю)
  4. Выполнить умножение

Пример:

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Вычитание дробей, объяснение

Чтобы найти разность дробей две третьих и одна третья, нужно вычислить разность числителей 2-1 = 1, а знаменатель оставить без изменения. В ответе получаем разность одну третью.

Найдем разность дробей пять шестых и семь десятых. Находим общий знаменатель. Используем способ подбора, из 6 и 10 наибольший 10. Проверяем: 10 : 6 без остатка не делится. Добавляем еще 10, получается 20:6, тоже без остатка не делится. Снова увеличиваем на 10, получили 30:6 = 5. Общий знаменатель 30. Так же НОЗ можно найти по таблице умножения.

Находим дополнительные множители. 30:6 = 5 — для первой дроби. 30:10 = 3 — для второй. Перемножаем числители и их доп.множ. Получаем уменьшаемое 25/30 и вычитаемое 21/30. Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.

В результате получилась разность 4/30. Дробь сократимая. Разделим ее на 2. В ответе 2/15.

Деление десятичных дробей 5 класс

В этой теме рассматривается два варианта действий:

Умножение десятичных дробей 5 класс

Вспомните, как вы умножаете натуральные числа, точно таким же способом и находят произведение десятичных дробей. Сначала разберемся, как умножить десятичную дробь на натуральное число. Для этого:

 При умножении десятичной дроби на десятичную, действуем точно также.

Смешанные дроби 5 класс

Пятиклашки любят называть такие дроби не смешанные, а , наверное так легче запомнить. Смешанные дроби называются так от того, что они получились путем соединения целого натурального числа  и обыкновенной дроби.

Смешанная дробь состоит из целой и дробной части.

При чтении таких дробей сначала называют целую часть, затем дробную: одна целая две третьих, две целых одна пятая, три целых две пятых, четыре целых три четвертых.

Как же они получаются, эти смешанные дроби? Все довольно просто. Когда мы получаем в ответе неправильную дробь ( дробь у которой числитель больше знаменателя), мы ее должны всегда переводить в смешанную. Достаточно разделить числитель на знаменатель. Это действие называется выделением целой части:

Перевести смешанную дробь обратно в неправильную тоже несложно:

Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

Пример 1.

( 0,4 · 8,25 — 2,025 ) : 0,5 = 

Первым действием находим произведение чисел 8,25 и 0,4. Выполняем умножение по правилу. В ответе отсчитываем справа налево три знака и ставим запятую.

Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат  2,55.

Ответ: 2,55.

Пример 2.

( 0, 93 + 0, 07 ) : ( 0, 93 — 0, 805 ) =

Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

Ответ: 8.

Примеры с обыкновенными дробями с разными знаменателями 5 класс с объяснением

В первом примере находим сумму дробей 5/8 и 3/7. Общим знаменателем будет число 56. Находим дополнительные множ., разделим 56:8 = 7 и 56:7 = 8.

Дописываем их к первой и второй дроби соответственно. Перемножаем числители и их множители, получаем сумму дробей 35/56 и 24/56.  Получили сумму 59/56. Дробь неправильная, переводим ее в смешанное число.

Остальные примеры решаются аналогично.

Примеры с дробями 5 класс для тренировки

Для удобства переведите смешанные дроби в неправильные и выполняйте действия.

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Чтобы получать пятерки по математике не забывайте учить правила и отрабатывать их на практике.

Источник: https://luckclub.ru/kak-reshit-drobi-5-klass-sut-drobi-slozhenie-vychitanie-delenie-umnozhenie-primery-s-obyasneniyami-uchim-rebenka-ponimat-drobi

Ваш закон
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: